Segitiga Pascal

Gambaran awal tentang sebuah segi tiga pekali binomial muncul pada abad ke-10 dengan ulasan dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba dalam prosodi bahasa Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5–ke-2 SM. Karya Pingala pula hanya muncul tentang pecahan, yang diulas oleh Halayudha, sekitar 975, menggunakan segi tiga itu untuk menjelaskan rujukan kabur pada Meru-prastaara, “Tangga Gunung Meru”. Ia juga disedari bahawa pepenjuru pada jumlah segi tiga itu wujud pada nombor Fibonacci. ahli matematik India Bhattotpala (kk. 1068) kemudian memberikan barisan 0-16 pada segi tiga tersebut.

Pada waktu yang sama, ia telah dibincangkan di Parsi (Iran) oleh ahli matematik Al-Karaji (953–1029) dan penyajak-ahli nujum-matematik Omar Khayyám (1048-1131); oleh itu segi tiga dirujukkan sebagai “segi tiga Khayyam” di Iran. Beberapa teorem berkaitan dengan segi tiga untuk diketahui, termasuk teorem binomial. Ternyata kita boleh memastikan bahawa Khayyam menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berasaskan pengembangan binomial, dan juga pada pekali binomial.

Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) menyampaikan segi tiga aritmetik, yang sama dengan Segi tiga Pascal. Hari ini segi tiga Pascal digelar “segi tiga Yang Hui” di China.

Akhirnya, di Itali, ia dirujuk sebagai “segi tiga Tartaglia”, dinamakan untuk ahli algebra Itali Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum Pascal (1500-1577); Tartaglia dikreditkan dengan rumus umum untuk menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin dari Scipione del Ferro tetapi diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).

Petrus Apianus ( 1495 -1552 ) menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi depan bukunya tentang perniagaan 1531/32 dan suatu versi asal pada 1527 yang merupakan rekod pertamanya di Eropah.

Pada 1655, Blaise Pascal menulis sebuah Traité du triangle arithmétique (Perjanjian pada segi tiga aritmetik), iaitu dia mengumpul beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segi tiga itu, dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segi tiga itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de Montmort (1708) dan Abraham de Moivre (1730).

Kegunaan Pola Bilangan Segitiga Pascal

1. Mencari lintasan terpendek dari lokasi yang mempunyai banyak percabangan

Pada gambar di atas tampak ada 56 titik, jika kita menghitung berapa banyak lintasan terpendek dari L19 ke L29, maka ada 3 lintasan terpendek, yaitu:

 i. L19-L20-L21-L29

 ii. L19-L20-L28-L29

 iii. L19-L27-L28-L29

serta untuk mengetahui bahwa banyak lintasan terpendek dari L19 ke L29
bahwa ada 3 lintasan, dapat dipergunakan pola bilangan segitiga pascal, pertama kita harus menghitung berapa jarak horizontal dan jarak vertical dari L19 ke L29. Jika kita anggap jarak dari 1 titik ke titik terdekat di sekitarnya adalah 1 garis, maka jarak horizontal dari L19 ke L29 adalah adalah 2 garis, dan jarak vertical dari L19 ke L29 adalah 1 garis, maka banyak lintasan terdekat dari L19 ke L29 adalah koefisien dari bilangan a²b¹ atau koefisien dari a¹b² yaitu 3, karena kita tahu bahwa:

(a+b)²⁺¹ = (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Contoh lain, jika kita ingin mencari banyaknya lintasan terpendek dari L27 ke L55, karena jarak horizontalnya 4 dan jarak vertikalnya 3, maka banyak lintasannya adalah bilangan segitiga Pascal yang merupakan koefisien dari a⁴b³ atau koefisien dari a³b⁴ yaitu 35 karena kita tahu bahwa:

(a+b)⁴⁺³ = (a+b)³⁺⁴ = (a+b)⁷ = 1a⁷ + 7a⁶b¹ + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7a¹b⁶ + 1b⁷

2. Mengetahui banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan

Untuk mengetahui banyaknya suatu himpunan bagian seluruhnya dari suatu himpunan yang anggotanya ada n unsur dapat menggunakan rumus 2ⁿ dimana n adalah banyak anggota himpunan. Misalnya jika kita ingin tahu banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan A = {a,b,c,d}, kita
tahu bahwa banyak anggota dari himpunan A adalah 4, yaitu a,b,c dan d, maka kita bisa langsung mengetahui banyaknya himpunan bagian dari himpunan A tersebut dengan dengan rumus 2ⁿ = 2⁴ = 16. Himpunan bagiannya adalah sebagai berikut.

1. A_{1 =} { }
2. A_{2 =} {a}
3. A_{3 =} {b}
4. A_{4 =} {c}
5. A_{5 =} {d}
6. A_{6 =} {a,b}
7. A_{7 =} {a,c}
8. A_{8 =} {a,d}
9. A_{9 =} {b,c}
10. A_{10 =} {b,d}
11. A_{11 =} {c,d}
12. A_{12 =} {a,b,c}
13. A_{13 =} {a,b,d}
14. A_{14 =} {a,c,d}
15. A_{15 =} {b,c,d}
16. A_{16 =} {a,b,c,d}

Tetapi, bagaimana kalau yang
diminta adalah banyaknya himpunan bagian yang hanya mempunyai 2 unsur?. Nah untuk persoalan semacam ini pola bilangan segitiga pascal bisa lagi dimanfaatkan, karena A mempunyai 4 anggota, maka banyaknya himpunan bagian yang hanya memiliki 2 unsur adalah angka pada pola bilangan pascal pada baris ke (4+1) kolom ke (2+1) atau pola bilangan pascal pada baris ke 5 kolom ke 3 yaitu angka 6, Jadi banyaknya himpunan bagian yang hanya memiliki 2 unsur adalah sebanyak 6, yaitu:

1. A_{6 =} {a,b}
2. A_{7 =} {a,c}
3. A_{8 =} {a,d}
4. A_{9 =} {b,c}
5. A_{10 =} {b,d}
6. A_{11 =} {c,d}

Dari uraian di atas, dapat dibuat prumuman, untuk mencari himpunan bagian dari n anggota yang hanya mempunyai k unsur, yaitu angka pada pola bilangan segitiga pascal pada baris ke (n+1) kolom ke (k+1).

3. Mengetahui besarnya peluang suatu kejadian dari pelemparan beberapa mata uang.

Dalam menentukan banyaknya
peluang dari pelemparan beberapa mata uang (dimana sisi mata uang ada dua, yaitu
sisi Angka dan sisi Gambar), kita harus membuat tabel data yang menunjukkan
beberapa kemungkinan kejadian. Semakin banyak mata uang yang digunakan, akan
semakin banyak pula datanya seperti yang terlihat pada tabel-tabel berikut :

• Kemungkinan darii 1 mata uang
  (Picture1)
• Kemungkinan darii 2 mata uang
  (picture 2)
• Kemungkinan dari 3 mata uang
  (picture 3)

Jika ada 4 mata uang yang digunakan, maka akan diperoleh
kemungkinan yang jumlah datanya sama dengan bilangan pada Segitiga Pascal baris
ke-5 sebagai berikut :

kemungkinan A seluruhnya adalah : 1

kemungkinan 3A dan 1G adalah : 4

kemungkinan 2A dan 2G adalah : 6

kemungkinan 1A dan 3G adalah : 4

kemungkinan G seluruhnya adalah : 1

Dengan menggunakan Segitiga Pascal dapat mempermudah menjawab persoalan teori kemungkinan.

Sebagai contoh:
Tentukan banyaknya kemungkinan pelemparan 4 mata uang yang diharapkan terbukanya 3A dan 1G. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan mudah dan cepat yaitu melihat baris ke-5 dari segitiga Pascal. Banyaknya kemungkinan dengan terbukanya 3A dan 1G adalah 4 kemungkinan, karena 4 merupakan koefisien dari a³b¹, karena kita tahu bahwa:

(a+b)⁵ = 1a⁵ + 4a⁴b + 6a³b² + 4ab⁴ + 1b⁵

dan banyak seluruh kemungkinan adalah 2⁴ = 16

sehingga kita dapat megetahui bahwa peluang munculnya 3 Angka
dan 1 Gambar adalah 4/16 = ¼.

Contoh lain:
Tentukan banyaknya kemungkinan pelemparan 7 mata uang yang diharapkan terbukanya 5A dan 2G. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan mudah dan cepat yaitu melihat baris ke-8 dari segitiga Pascal. Banyaknya kemungkinan dengan terbukanya 5A dn 2G adalah 21 kemungkinan, dan banyak seluruh kemungkinan adalah 2⁷ = 128. Jadi peluang munculnya 5 Angka dan 2 Gambar adalah 21/128.

Sumber: sejarah singkat